Метод гармонической сегментации тоновых цифровых изображений и его применение при геологическом дешифрировании космо- и аэрофотоснимков : НПК ВИДЕОСКАН

Метод гармонической сегментации тоновых цифровых изображений и его применение при геологическом дешифрировании космо- и аэрофотоснимков

Данильченко А.Я., Кудрявцев Д.И.

"Сегментация изображения представляет собой разделение или разбиение изображение на области по сходству свойств их точек" [1]. Первичное выделение на исходном тоновом изображении возможных искомых объектов при помощи преобразования сегментации является одним из основных этапов анализа изображений. В настоящее время считаются основными два наиболее широко используемых преобразования: яркостное и контурное [2]. Некоторые исследователи включают в состав основных методов также и текстурную сегментацию [3]. Согласно этой классификации, выделение областей в процессе сегментации осуществляется исходя из оценки соответствия, некоторому критерию однородности (сходства) значений: либо яркости I(x,y) каждой точки, либо первой производной 2I(x,y)/ x y яркости в некоторой заданной окрестности каждой точки, либо той или иной текстурной характеристики распределения яркости H(x,y) в заданной окрестности точки [1,3].

В то же время практически отсутствуют попытки использования Фурье-образа яркостных значений для сегментации цифровых тоновых изображений. Методы, основанные на преобразовании Фурье и аналогичных ему преобразованиях, условно выделяемых в класс гармонических методов, достаточно широко и успешно используются для восстановления (реставрации), обработки и кодирования изображений. Достаточно полное и детальное рассмотрение этих методов и их использования дано в работах У.Прэтта, Р.Бейтса и М.Мак-Доннела [1,4]. Но весь этот мощный аппарат не используется для сегментации тоновых изображений. Этому имеются достаточно веские причины, лежащие в основе самого подхода к использованию гармонических преобразований при работе с изображениями, также рассмотренные в работах [1-4].

Однако, чисто формально, любое цифровое изображение можно рассматривать и как упорядоченное множество реализацией случайного двумерного процесса, формирующего данное изображение [1]. В этом случае значение яркости каждого элемента цифрового изображения F(x,y), соответственно, рассматривается как независимый результат свертки значений яркости исходного сигнала f(x,y) и полной аппаратной функции дискретизации этого сигнала A(x,y) в пределах заданной окрестности той или иной точки (x,y), например, в прямоугольной области с размерами(2N + 1, 2M + 1), где N и M равны 0, 1, 2, ... . При отображении декартовых координат трехмерного изображения в векторную систему координат одномерного сигнала F(x,y) -> FТ(t-

), то значение свертки Y _Nдля каждого элемента цифрового изображения, представляющее собой интеграл Дюамеля [5], в общем случае определяется выражением:

( 1 ) ,

где А(

) - частный случай функции Грина, являющийся нормальной реакцией на единичный импульс

(t-

), известной также под названием аппаратной функции. При этом Фурье-спектр свертки сигнала f(t-

) в точке (x,y) есть разность спектров исходной свертки и аппаратной функции дискретизации этого сигнала. Кроме того, саму свертку в каждой точке цифрового изображения можно рассматривать, как прямоугольный импульсный сигнал с непрерывным Фурье-спектром. Так же, при анализе прямоугольного импульса, который может быть определен, как единичный, можно постулировать, что при процессе сегментации в дискретном пространстве только первый элемент Фурье-образа такого импульса может рассматриваться, как принадлежащий образу сигнала, а все остальные - образам аппаратной функции, и могут быть исключены из процесса анализа. Поскольку цифровое изображение представляет собой область дискретного пространства, следовательно, при анализе соответствующих Фурье-образов можно ограничиться рассмотрением только тех элементов спектра, которые соответствуют существующим в этом пространстве дискретным значениям и не рассматривать гармоники с периодом, меньшим величины шага дискретизации (квантования) исходного изображения. Можно показать, что при соблюдении вышеперечисленных условий, спектр свертки может рассматриваться, как дискретный и обладающий конечным набором гармоник.

Если в качестве аргумента функции берется величина интенсивности сигнала, то результат свертки всегда можно рассматривать, как единичный прямоугольный импульс переменной длительности, являющийся периодической функцией, отличающуюся от нуля на части периода. За величину периода (2p) этой функции принимается величина динамического диапазона всех возможных значений свертки (область ее возможного существования) в пределах анализируемого изображения. Гармонический анализ таких функций описан во многих учебных пособиях и работах, посвященных анализу колебаний и случайных процессов. Достаточно полное и в то же время сжатое изложение математического аппарата преобразования подобных функций в ряд Фурье и его последующий анализ даны в классической работе Р.Мэнли [6]. Суть этого заключается в следующем. В общем виде функция единичного прямоугольного импульса y = f(t), по определению являющаяся периодической и отличной от нуля на части ее периода с интервалом (p,q), может быть записана в виде:

( 2 )

и представлена графиком, приведенном на Рис. 1-a, либо, если p или q равны нулю, графиками, приведенными на Рис. 1-b,-c.

Обозначив функцию ( 2 ) символом и поскольку это периодическая функция с периодом, равным 2 , то по определению имеем:

( 3 ) .

При этом справедливо равенство

( 4 ) ,

смысл которого иллюстрируется Рис. 1-b и Рис. 1-c.

Приведенные функции могут быть разложены в ряд Фурье с соответствующими значениями Фурье коэффициентов A ₀, a _kи b _kпо стандартным формулам [5,6]. Таким образом, если задан интервал разложения a < t < a+T, то для действительной функции f(t), для которой существует интеграл

, существует и бесконечный тригонометрический ряд:

( 5 )

где

( 6 )

При преобразовании функций ( 3 ) и ( 4 ) обозначим эти коэффициенты, соответственно, символами . Кроме того, подставляя выражения ( 6 ) в ( 5 ) и полагая Т = 2 и, следовательно, w = 1, получим:

( 7 )

Периодическая функция типа

используется когда требуется выразить в виде единой формулы дискретизированную функцию F(x), определяемую рядом уравнений вида:

( 8 )

Умножение любой функции на функцию типа ( 4 ) эквивалентно ограничению ее периода интервалом функции ( 4 ) и поэтому функция F(x) может быть представлена для всей области от 0 до 2

в виде суммы

( 9 )

где i = 0, a, b, ..., n; j = a, b, ..., 2 . И следовательно, если - коэффициенты F(x), аналогичные коэффициентам ряда Фурье, то

( 10 )

таким образом, при условии, что все функции

являются постоянными величинами, ряд

( 11 )

является рядом Фурье.

И, наконец, поскольку при анализе цифрового изображения любое значение

в любой точке изображения может быть выражена целым числом, величина которого определяется выражением

( 12 )

где I _min,I _Max- нижний и верхний пределы аппаратурного динамического диапазона, соответственно, n - порядок числа, O - основание системы счисления, m - целое число (0=<m<O), - условие постоянства функции

и сходимости ряда удовлетворяется автоматически и любое значение (яркостная характеристика) любого целочисленного элемента цифровой матрицы может быть разложено в гармонический ряд ( 11 ).

При этом можно показать, что для дискретного пространства, количество значимых элементов ряда (гармоник) может быть жестко ограничено теми гармоническими составляющими, для которых значение величины их периода всегда: во-первых, находится в пределах от

i до

, где

i - величина, соответствующая минимальному шагу квантования соответствующей координаты дискретного пространства, и, во-вторых, являются кратными всем периодам более длинноволновых гармоник, входящих в данный ряд, то есть, составляющими, представляющими собой набор взаимно-кратных гармоник. Таким образом, выбор элементов анализируемого ряда ограничен, с одной стороны, - величиной фактического динамического диапазона возможных значений, с другой стороны, - минимальным шагом квантования, и с третьей, - требованием входить в набор взаимно-кратных гармоник. На практике такой ряд, как правило, содержит менее десяти элементов и в чрезвычайно редких случаях их число может превышать полтора-два десятка.

Все это позволяет осуществлять экспрессную автоматическую оценку гармонических составляющих значений свертки яркостных характеристик для каждого элемента (пиксела) цифрового изображения в пределах любой, заранее заданной, целочисленной окрестности этого элемента. В итоге, появляется возможность получать информацию, ранее недоступную исследователям в процессе автоматического анализа изображений.

Алгоритм программной реализации описанного способа гармонической сегментации достаточно прост и эффективен в работе, а возможность получения и анализа подобной информации на практике дает интересные и часто важные результаты. В качестве примера, ниже приводятся результаты опытно-методических работ по дешифрированию космоизображения с использованием гармонической сегментации.

Рис. 2. Исходное изображение.

Объектом опытно-методических работ являлось цифровое космоизображение части Западно-Сибирской низменности масштаба 1:200 000, приведенное на Рис.2. Целью анализа являлось выделение информации, необходимой для тектонического картирования территории, изображенной на снимке, исходя из стандартного положения, что изменения определенных параметров фототона на изображении однозначно связаны с тектонической структурой изображенного на нем района. Территория на анализируемом изображении представляет собой относительно плоскую денудированную холмистую равнину в среднем участке бассейна реки Оби, с разнообразным растительным покровом средней и высокой плотности, состоящим из лесных массивов, кустарникового подлеска и заболоченных участков. Вся территория покрыта рыхлыми отложениями сложного строения и растительным покровом.

Качество исходного изображения оценивается как посредственное или плохое, что определяется его низкой контрастностью, вялостью, локальной нечеткостью изображения, наличием дефектов проявления исходного фотоснимка, в виде светлых полос и пятен, а также неравномерной плотностью фототона, обусловленной неравномерностью освещения при печати и дефектами оцифровки изображения. Все это достаточно хорошо иллюстрируется графиком профиля яркости АВ, приведенном на Рис. 2. Дополнительно качество исходного изображения ухудшено тем, что оно формировалось из двух различных изображений, средняя яркость которых различалась не менее чем на 20%. Линия соединения начальных изображений хорошо фиксируется на Рис.2 по изменению общей плотности фототона на исходном изображении и изменению характера графика профиля яркости АВ, с того места, где профиль пересекает границу раздела (на Рис.2 точка пересечения линий профиля и соединения начальных изображений на оси Х графика помечена стрелкой).

Таблица 1. параметры исходного изображения.
Параметр Значение

Размер видеоматрицы (пикс.) 768 * 768

Линейный масштаб (км/пикс.) 0.079300

Размер изображения (км) 60.90 * 60.90

Площадь изображения (пикс. ²) 589824

Площадь изображения (км ²) 3709.10

Минимальная яркость 9.02

Максимальная яркость 91.76

Средняя яркость (%) 40.77

Мода яркости 35.49

Абсолютное s (%) 10.55

Относительное s (относит. %) 25.88

Девиация (%) 10.55

Асимметрия -0.003

Эксцесс -0.19

Энергия 0.01

Энтропия 6.78

В Таблице 1 приведены общие метрические и статистические яркостные параметры исходного изображения, а в правой части Рис. 2 приведены линейная и полулогарифмическая гистограммы его относительной яркости. Эти данные показывают, что распределение яркости на исходном изображении обладает низкой энергией и незначительно отличается от классического нормального распределения, что, в свою очередь, как правило, соответствует достаточно низкому значению отношения сигнал-шум на естественном изображении. Стандартные преобразование оптимизации яркости такого изображения, как правило, не дают существенного улучшения яркостных характеристик.

Достаточно легко показать, что выделение необходимой информации при помощи распространенных методов сегментации чрезвычайно неэффективно и требует большего объема ручных методов интерпретации. Таким образом, высокий уровень шумов изображения ограничивает выбор методов сегментации для выделения объектов, связанных с тектоническими структурами района, и делает наиболее предпочтительным в качестве базового метода выбор гармонической сегментации, как наиболее помехоустойчивого. Кроме того, высокий уровень помех, определяемых качеством исходного изображения, при попытке получить более четкие и надежные результаты анализа требует проведения комплексной текстурно-гармонической сегментации, основанной на оценке однородности не только по заданному набору гармонических составляющих, но и по их соответствующим текстурным признакам.

Преобразование комплексной гармонической сегментации в данном случае заключалась в следующей последовательности операций. На первом этапе яркостные значения исходного изображения оптимизировались преобразованием расширения яркостного диапазона [1,3] до 100%. Затем, принимая стандартный интервал разложения яркостного сигнала Т = 2 и нормируя на него величину диапазона всех возможных значений результатов свертки сигнала в пределах окна (2N+1)(2M+1) элементов, формировался набор признаков B(n,m) = f( ) для гармонической сегментации, в соответствии с выражением ( 7 ). В данном случае, в качестве исходного сигнала использовалась свертка значений яркости исходного изображения, в пределах прямоугольного окна размером 0.2379 * 0.2379 км (0.0566 км ²). В качестве признаков сегментации использовался стандартный набор последовательных гармонических составляющих с относительными частотами _nравными 1/ , 2/ , 4/ , ... , то есть, соответственно, 1-я, 2-я, 3-я, ... взаимно-кратные гармоники (далее, просто гармоники) Фурье-образа свертки. Верхний и нижний значения критерии однородности (пороги обнаружения) задавались таким образом, чтобы интервал однородности вмещал лишь одну взаимно-кратную гармонику. Для каждого значения исходного сигнала заданной окрестности каждой точки изображения автоматически выделялось и анализировалось 12 гармоник.

Суть текстурно-гармонической сегментации заключалась в том, что выделение областей однородности осуществлялось путем классической текстурной сегментации [1], при которой в качестве базовой функции для формирования модифицированного текстурного признака использовались результаты гармонической сегментации яркостного сигнала. Модифицированный текстурный признак T(j,k), в данной работе - признак Розенфельда и Троя [7], формировался на прямоугольном окне(2N+1)(2M+1) элементов в соответствии с выражением:

( 13 ) ,

где B(m,n) - базовая функция текстурной сегментации, в нашем случае - функция распределения на изображении определенных гармонических составляющих с заданной относительной частотой w _n. При проведении данных опытно-методических работ текстурная сегментация осуществлялась в пределах прямоугольного окна размером 0.5551 ? 0.5551 км (0.3081 км ²) с верхними и нижними порогами обнаружения (критерием однородности) - от 49% до 100% динамического диапазона базовой функции (т.е. со средним значением нормированного сигнала 0,75

0,25).

а)
б)

Рис. 3. Области распространения (выделены темным цветом) на исходном изображении гармонической составляющей с относительной частотой

_n = 2/

(2-я гармоника).

а) Результаты гармонической сегментации с прямоугольным окном свертки, размером 0.2379 ? 0.2379 км (0.0566 км ²).

б) Результаты текстурно-гармонической сегментации. Окно свертки: 0.2379 * 0.2379 км (0.0566 км ²). Область текстурной оценки: 0.5551 * 0.5551 км (0.3081 км ²); интервал критерия однородности: 49,0%- 100%.

Результаты анализа данных рассмотренных выше методов сегментации изображения, приведенного на Рис. 1, можно резюмировать следующим образом. Первая гармоника с относительной частотой _n = 1/ на изображении практически отсутствует, что определяется его низким качеством. С увеличением номера (частоты) иных гармонических составляющих наблюдается существенное падение отношения сигнал-шум, но лучшие результаты дает текстурно-гармоническая сегментация.

На Рис. 3 приведены результаты гармонической и текстурно-гармонической сегментаций исходного изображения, приведенного на Рис. 1. В обоих этих случаях в качестве базовой функции была выбраны области распространения гармонической составляющей с относительной частотой _n = 2/ (2-я гармоника). Сравнение результатов, приведенных на Рис. 3, наглядно показывает, что для решения поставленной задачи можно воспользоваться, как гармонической, так и текстурно-гармонической сегментацией, но отношение сигнал-шум в последнем случае существенно выше. Шумовая составляющая результатов гармонической сегментации, выражающаяся в большом количестве мелкоплощадных (точечных) сигналов, высокой изрезанности границ и т.п., на изображении Рис. 3-а достаточно велика. Однако, также хорошо видно, что и в этом случае влияние помех, вызванных дефектами изображения, уже сведено к минимуму, хотя, например, следы вертикальной границы общего перепада яркости и светлых горизонтальных полос все еще прослеживаются. На изображении Рис. 3-б высокочастотные пространственные шумовые составляющие практически отсутствуют, что заставляет считать преобразование текстурно-гармонической сегментации в данном случае предпочтительным. То же самое наблюдается для пространственных распределений всех остальных гармоник.

При гармонической сегментации для более или менее уверенной интерпретации, для выделения информации, необходимой для тектонического картирования, наиболее подходят области распространения только второй, третьей и четвертой гармоник. В то же время, для анализа информации о тектонических структурах района по результатам текстурно-гармонической сегментации, могут быть уверенно использованы карты-схемы выделенных областей распространения гармонических составляющих уже от второй до пятой гармоник, включительно.

Исходя из масштаба космоизображения, при выделении информации, относящейся к тектоническим структурам первого, второго и, частично, третьего порядков, (то есть, материковым, платформенным и, частично, системным), можно ограничится анализом областей распространения гармонических составляющих, относящихся ко второй и третьей гармоникам. Иными словами, в этом случае, для дальнейшего первичного автоматического анализа наиболее целесообразным представляется выбор областей распространения именно второй и третьей гармоник, как наиболее информативных при решении подобной задачи. При этом полагалось, что основная информация об этих тектонических структурах определяется положением и формой граничных участков выделенных областей распространения этих гармоник.

а)
б)

Рис. 4. Схемы машинных линеаментов, являющиеся осевыми линиями участков максимального градиента на границах областей распространения 2-й и 3-й гармоник, связываемых с тектоническими структурами первого и второго порядков. а) схема элементарных машинных линеаментов (Е-линеаментов); б) схема полных машинных линеаментов.

Автоматическое выделение этих данных осуществлялось методами контурных трансформаций, включающих комплексные алгоритмы осреднения и построения остова, по участкам максимальных градиентов на границах выделенных областей распространения. В результате были получены карты-схемы машинных линеаментов, как элементарных (Е-линеаментов) так и полных, (Рис.4-а и -б, соответственно) [8], представляющих собой центромеры (осевые линии) соответствующих участков этих областей. Характерной особенностью этого типа обработки информации может явиться практически полная потеря возможности интерпретации исходного структурно-литологического рисунка, но при этом выявляется система (или системы) линий, связанные со скрытыми дислокациями, которые могут быть очень неконтрастно проявлены на исходных тоновых изображениях.

Карта-схема машинных Е-линеаментов (Рис. 4-а) позволяет получить и статистически обработать информацию о расположении, протяженности и направлении простирания отдельных отрезков границ выделенных зон, связанных с простиранием соответствующих тектонических структур. Кроме того, она позволяет осуществить трассирование этих структур, как по простиранию самих Е-линеаментов, так и по линиям их УобрываФ.

На карте-схеме полных машинных линеаментов (Рис. 4-б), полученные линеаменты образуют планарный граф, разбивающий анализируемый район на отдельные участки, в пределах которых значения яркостных гармонических составляющих могут считаться удовлетворяющими заданному критерию однородности. Выделенные участки можно рассматривать как элементарные объекты, характеризующие тектоническое строение района.

На данном анализируемом изображении присутствует 135 объектов различных форм и размеров, обладающих соответствующими дискриминантными признаками. В качестве одного из возможных направлений дальнейшего количественного анализа, осуществлялся анализ площадей выделенных объектов, распределение которых приведено на Рис. 5.

Анализ распределения величин площадей выделенных участков позволяет достаточно уверенно разбить эти участки на три условных класса, в соответствии с занимаемыми ими площадями. К первому классу можно отнести все участки, площадь которых менее 22 км ². Это наиболее многочисленный класс, образующий основной пик статистического распределения. Ко второму классу можно отнести все участки, площадь которых находится в пределах от 22 км ²до 122 км ². Объекты этого класса образуют второй пик гистограммы. К третьему, последнему, классу можно отнести участки с площадью более 122 км ². Их количество не может считаться статистически представительным, но разброс их значений выходит далеко за пределы дисперсии, допустимой для объектов второго класса, что в свою очередь, позволяет с достаточной уверенностью выделять их в отдельный класс.

Анализ форм и областей распространения объектов каждого из выделенных классов позволяет делать предположения об их связи с некоторыми определенными тектоническими зонами и структурами.

Рис. 6. Области распространения участков с площадями менее 22 км ²(выделены белым цветом).

Расположение объектов первого класса приведено на Рис. 6. Они располагаются узкими вытянутыми зонами, ориентированными в субмеридиональном и юго-западном - северо-восточном (диагональном) направлениях и это обстоятельство подталкивает к выводу о связи этих объектов с активными участками разломных структур. Необходимо отметить, что на изучаемой территории распространен мощный осадочный чехол, мощностью до 3-3,5 км, структура которого хорошо изучена геофизическими методами в интересах нефтедобычи. Результаты этих комплексных исследований указывают на присутствие разломов того же простирания и расположения. Характерной деталью является то, что в пределах выделяемых областей распространения объектов этого класса, было выявлены четкие следы тектонической активности не только при картировании поверхности фундамента, но и в самом осадочном чехле. Также нельзя не отметить, что методы гармонической сегментации автоматического анализа космоизображений более надежно, а главное, с существенно большей производительностью распознают те же разломы в кристаллическом фундаменте.

Рис. 7. Области распространения участков с площадями от 22 км ²до 122 км ²(выделены белым цветом).

Расположение объектов второго класса приведено на Рис. 7. Они представляют собой относительно широкие вытянутые области. Положение линий, сопрягающих границы обрисованных площадей, совпадает с хорошо известными долгоживущими разломными структурами фундамента, и их проявление на поверхности является некоторой неожиданностью, так как другими методами выявить их распространение в осадочном чехле, а тем более на поверхности, не удавалось. Они выявляются только при картировании фундамента, соответствующими методами.

Рис. 8. Области распространения участков с площадями более 122 км ². (выделены белым цветом).

Расположение объектов третьего класса приведено на Рис. 8. Они представляют собой обширные области сложной формы, связанными с крупными консолидированными участками коренных пород с низкой тектонической активностью в их пределах. Это предположение подтверждается и имеющимися геолого-геофизическими данными. Таким образом, анализ изображения площади способен дать не менее четкую картину распространения разломных зон, чем геофизические методы.

Метод гармонической сегментации тоновых цифровых изображений используемый для структурно-тектонического дешифрирования космоизображений дает вполне информативные результаты, не противоречащие геофизическим данным и данным, полученным при бурении скважин. В пределах поставленной задачи были даны ответы на вопросы об общем тектоническом строении представленной на анализируемом фотоснимке территории. При сопоставлении этих результатов с результатами традиционного (ручного линеаментного анализа) обнаруживается их достаточно хорошая сходимость. Представляется, что данный метод вполне может широко использоваться в геолого-поисковых работах. В качестве его развития необходимо, конечно иметь в виду необходимость его сопряжения с геоинформационными системами (ГИС) для более строгой привязки результатов анализа к местности

В заключение необходимо указать на достаточно важный прикладной аспект применения метода гармонической сегментации - его высокую производительность. Учитывая, что размер анализируемого изображения может быть произвольным, дать строгую оценку временных затрат на сегментацию одного изображения представляется затруднительным. Поэтому, в качестве примерной оценки, могут быть использованы временные затраты на обработку 1 пиксела изображения любого размера. При проведении настоящих работ использовалась аппаратно-программный комплекс анализа изображений (на базе IBM PC/AT) "Видео-Мастер 60.2", производства НВП "Центр", с системами ввода изображений: VS60, производства фирмы "Видеоскан", ScanNex II, производства АО "Экстел", и со стандартного планшетного сканера. В компьютере использовался процессор Pentium Pro с тактовой частотой 66 МГц. Размеры анализируемого цифрового изображения составляли 768? 768 пикселов. При размещении результатов в ОЗУ компьютера, временные затраты на процесс преобразования гармонической сегментации составляли около 1 микросекунды на пиксел. Размещение результатов в виртуальной дисковой памяти увеличивало затраты времени примерно на 2-2,5 порядка и они составляли около 100 микросекунд на пиксел, что тоже может считаться достаточно высокой производительностью. В данном конкретном случае, общие временные затраты на анализ всего космоизображения, с учетом затрат, вызванных весьма несовершенной технологии ввода-вывода данных и подготовкой отчета, составили менее недели, в то время как на линеаментные анализы соответствующих фото- и картографических источников тратятся недели и месяцы работы высококвалифицированных специалистов.

Литература.

Прэтт У.К. Цифровая обработка изображений./ Пер. с англ. - М.: Мир, 1982, кн. 1, 2, 790 с. (William K. Pratt. Digital Image Processing. - A Willey - Interscience Publication. John Willey and Sons. 1978.)
Яншин В.В. Анализ и обработка изображений: принципы и алгоритмы. - М.: Машиностроение. 1995. - 112 с.: ил.
Павлидис Т. Алгоритмы машинной графики и обработки изображений./ Пер. с англ. - М.: Радио и связь, 1986, 400 с. (Pavlidis T. Algorithms for Graphics and Image Processing. - Computer Science Press, Inc., 1982.)
Бейтс Р, Мак-Доннел М. Восстановление и реконструкция изображений. / Пер. с англ. - М.: Мир, 1989. - 336 с. (Bates R.H.T., McDonnell M.J. Image Restoration and Reconstruction. - Clarendon Press-Oxford, 1986.)
Корн Г.А., Корн Т.М. Справочник по математике для научных работников и инженеров. - М.: Наука, 1974, 831 с. (Korn Granino A., Korn Theresa M. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. - New York, San Francisco, Toronto, London, Sydney: Mc-Graw-Hill Book Company, 1968.).
Мэнли Р. Анализ и обработка записей колебаний. / Пер. С англ. - М.: УМашиностроениеФ, 1972, 368 с. (Manley R.G. Waveform Analysis (A guide to the interpretation of periodic waves, incluing vibration records). - New York, John Wiley and Sons Inc., 1948)/
Rosenfeld A.A., Troy E.B. Visual Texture Analysis./ In Proc. UMR-Mervin J. Kelly Communication Conf. - Missuri: University of Misscuri-Rolla, Oct. 1970, Section 10-1.
Данильченко А.Я., Марков М.С., Островский М.В., Тюфлин Ю.С. Автоматизированное выделение и анализ линеаментов по радиолокационным изображениям Венеры. - Геодезия и картография, 1989, ч 7, c. 23-26.